GEOMETRÍA PLANA. POLÍGONOS INSCRITOS..

POLÍGONOS INSCRITOS

CUADRADO Y OCTÓGONO.

Uniendo los extremos de dos diámetros perpendiculares  "1,3,5 y7" se obtiene el cuadrado inscrito.

Haciendo las mediatrices de los lados de este cuadrado se obtienen los puntos medios "2,4,6 y 8" en la circunferencia, que unidos a los anteriores producen el octógono.

PENTÁGONO

1.Se trazan dos diámetros perpendiculares.

2. Desde el punto 1, y con el mismo radio de la circunferencia se traza un arco que corta a la circunferencia en 2 y 3.

Se dibuja la cuerda de la circunferencia desde 2 a 3. Esta corta al diámetro horizontal en 4.

3. Haciendo centro en 4, y tomando como radio la distancia entre 4 y el extremo superior del diámetro vertical, se hace un arco que corta al diámetro horizontal en 5.

4. La distancia entre el extremo del diámetro vertical y 5 se corresponde con el lado del pentágono que queremos dibujar.


EXÁGONO.

La cuerda que une los dos extremos del arco que supone la 6ª parte de la longitud de la circunferencia, es exactamente de la misma medida que el radio de la circunferencia. Por lo que si dibujamos un exágono inscrito en dicha circunferencia, sus lados tendrán la misma longitud que el radio.

HEPTÁGONO

Para dibujar el heptágono inscrito procedemos de la siguiente manera: 

1º Trazamos dos diámetros perpendiculares, 

2º y en uno de las mitades del diámetro horizontal, hayamos la mediatriz que nos proporciona los puntos 2 y 3.

3º. La mitad de la cuerda 2-3, se corresponde con la medida del heptágono que estamos buscando.

ENEÁGONO


1º Dibujamos dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
2º Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio igual al radio de la circunferencia y obtenemos el punto 3, y repetimos la operación con el punto 2 y obtenemos el punto 4.
3º Hacemos centro de compás en el punto 5 con radio hasta el punto 4 y dibujamos un arco y repetimos la operación con en el punto 5 con radio hasta el punto 3 y dibujamos otro arco. Donde esos dos arcos se cortan obtenemos el punto 7.
4º Hacemos centro de compás en el punto 7 con radio hasta el punto 1, que coincide con el 5, y dibujamos un arco.
El lado del eneágono inscrito es la distancia que queda desde donde ese arco nos corta al diámetro de la circunferencia hasta la circunferencia.


DIBUJAR CUALQUIER POLÍGONO INSCRITO USANDO EL MÉTODO GENERAL

En este caso vamos a dibujar un eneágono, pero este método nos sirve para cualquier polígono regular. Hay que tener en cuenta que se trata de un método aproximado, hay que dibujar con mucha exactitud para que el resultado sea óptimo.

1º. Dibuja la circunferencia, y dos diámetros perpendiculares.

2º. Traza una línea por cualquier lado de uno de los diámetros. Toma en ella nueve medidas iguales (para hacer un eneágono que tiene nueve lados, si fuésemos a hacer un polígono con otro nº de lados, habría que tomar en él tantas medidas como lados tuviera. 

3º. Une la última división de las nueve que has hecho, con el final del diámetro que vas a dividir.

4º. Traza paralelas por las siguientes divisiones. Hasta que el diámetro quede dividido en 9 partes iguales.

5. Esta es la subdivisión 2, es conveniente marcarla para que quede claro.

6. Para encontrar el punto "V". Hay que trazar un arco con centro en uno de los extremos del diámetro  (por ejemplo A), y un radio igual al diámetro. (pincho en A y pongo la punta del compás en B, y hago un arco que corta a la prolongación del diámetro en V)

7. Trazo una línea que une V con el punto 2º del diámetro. Para obtener el punto 2. La distancia entre 1 y 2 es 1/9 de la circunferencia.

8. Tomo esa medida con el compás y la repito a lo largo de la circunferencia para encontrar los restantes puntos, como puedes  ver terminado en la siguiente foto.

Entonces solo te queda unir los lados, Y terminado.

Es posible que no te quede bien del todo pues este método es un método aproximado, no es exacto. Así que si no te queda muy bien no te preocupes.

POLÍGONOS ESTRELLADOS
Extraído de la web: roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/polirestrellado.htm

Un polígono regular estrellado puede construirse a partir del regular convexo uniendo vértices no consecutivos de forma continua.

Se denotan por N/M siendo N el numero de vértices = N del regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible, de lo contrario no se genera el  polígono estrellado que indica la fracción.

Es fácil  ver que N/M es el mismo polígono que N/(N-M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.  Comportamiento similar a números combinatorios.

Para encontrar todos los polígonos regulares estrellados que se generan de un regular de N lados, basta con considerar M entero entre 2 y (N/2) con la condición de que la fracción que le denota sea irreducible.

Se presentan los polígonos estrellados que se generan de los primeros polígonos regulares

	Es fácil ver que no se genera ningún polígono estrellado a partir del triangulo equilátero.3/1 = 3 numero entero ...No polígono estrellado. 3/2=3/1
	Tampoco el cuadrado genera polígonos estrellados regulares. 4/1 entero. 4/2 entero.
		Polígono regular 5/2. Es claro que no puede haber más.
	El hexágono regular no genera polígonos estrellados. 6/1 pol convexo. 6/2 =entero . 6/3 entero.
	7/2	7/3	El heptágono regular genera dos estrellados, 7/2 y 7/3
	8/3	8/3 es el único estrellado que se genera partiendo del octógono regular.
	9/2	9/4	El eneágono genera dos estrellados, 9/2 y 9/4
	10/3	No hay más, ya que 10/4 = 5/2 .
	11/2	11/3	11/4	11/5

LÁMINA 8  POLÍGONOS INSCRITOS

1. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el pentágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
2. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el pentágono estrellado inscrito. No es necesario trazar, se pueden tomar las dimensiones del problema 1.
3. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el hexágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
4. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el dodecágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
5. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el heptágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
6. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el heptágono estrellado de paso 3 inscrito. No es necesario trazar, se pueden tomar las dimensiones del problema 5.

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Lámina 9 POLÍGONOS INSCRITOS II

1. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el octógono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
2. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el octógono estrellado de paso 3 inscrito. No es necesario trazar, se pueden tomar las dimensiones del problema 1.
3. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el eneágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
4. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el eneágono inscrito de paso 4. No borrar las líneas de trazado.
5. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el decágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.
6. Dada una circunferencia de 35mm de radio. Dibuja el pentadecágono inscrito. No borrar las líneas de trazado.

Lámina 10. POLÍGONOS INSCRITOS, MÉTODO GENERAL Y PENTÁGONO CONOCIDO EL LADO, MÉTODO ESPECÍFICO.

1. Dibujar un polígono regular de 13 lados por el método general. Radio de la circunferencia circunscrita: 30mm.
2. Dibujar un polígono regular de 17 lados por el método general. Radio de la circunferencia circunscrita: 30mm.
3. Dibujar un pentágono regular conociendo lo que mide el lado. Lado del pentágono 30mm.