GEOMETRÍA PLANA. CURVAS CÓNICAS. ELIPSE

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ELIPSE

La elipse es  la curva cerrada y plana, lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante (2a). Una elipse tiene dos ejes de simetría el eje mayor (2a) y el eje menor (2b),  resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

P es un punto de la elipse, si sumamos las distancias PF + PF'=2a. 2a es la constante de esta elipse. Si escojo cualquier otro punto de ella el resultado es el mismo.

DETERMINAR LOS FOCOS DE UNA ELIPSE CONOCIENDO LOS EJES

1. Haciendo centro en uno de los dos extremos del eje menor, y con un radio igual a la dimensión "a" obtenemos los dos focos en el eje mayor.

CIRCUNFERENCIA  FOCAL  

Es la que tiene como centro uno de los focos y como radio 2a

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Tiene como centro el centro de a elipse y como diámetro 2a.

DIBUJAR UNA ELIPSE.

MÉTODO DEL JARDINERO

1. Sobre el eje mayor tomamos puntos aleatoriamente (1,2,3), 
• también podemos coger algún punto entre el foco y el extremo del eje como "B".
• Cuantos más puntos cojamos más puntos de referencia para después trazar la elipse tendremos.
2. Haciendo centro con el compás en F, y con una apertura igual a A1, describimos un arco de circunferencia, 
3. haciendo centro en F' y con una apertura igual a B1, describimos un arco que se corta con el anterior en 1'. 
• 1' es un punto de la elipse pues cumple la condición de que la suma de las distancias a F y F' es igual a 2a.
• Teniendo en cuenta que la elipse es doblemente simétrica, el punto 1' se traxa igual que su simétrico abajo del eje mayor.
• Y ambos se trazan de la misma manera que sus simétricos al otro lado del eje menor.
4. Procedemos de la misma manera con los puntos 2, 3 y tantos otros como hayamos dibujado.
5. Unimos los puntos a mano. 
• LAS CURVAS CÓNICAS SE TRAZAN SIEMPRE A MANO

MÉTODO DE PUNTOS

1.  Se incluye la elipse que vamos a dibujar en un rectángulo. 
2. Tomamos una cuarta parte de este rectángulo y dividimos el lado que se corresponde con el semieje mayor en partes iguales, lo mismo hacemos con el lado del rectángulo exterior. En este caso los hemos dividido en cuatro.
3. Hacemos pasar rectas por los puntos 1,2,3 desde ambos extremos de los ejes.
4. Los puntos correspondientes de intersección son puntos de la elipse.
5. Procedemos d ela misma manera con los otros tres cuadrantes y unimos los puntos resultantes a mano.

MÉTODO DE PROYECCIÓN DE PUNTOS

1. Dibujamos dos circunferencias que tengan como diámetro los ejes de la elipse.
2. Hacemos diámetros 
• En este caso para mayor claridad del dibujo solo hemos realizado el trabajo sobre uno de los tres cuartos de la elipse resultante, pero tú lo puedes hacer del tirón en los cuatro lados
3. Por los puntos de intersección en ambas circunferencias, (como por ejemplo 1' y 1") trazamos paralelas a ambos ejes, los puntos de corte (1) son puntos de la elipse.

MÉTODO DIÁMETROS CONJUGADOS

Diámetros conjugados en una elipse son cualquiera de las cuerdas que pasen por el centro de la elipse menos los ejes.Los diámetros conjuados que nos dan en este caso son AB y CD.

1. Dibujamos puntos (1,2) aleatoriamente en una de las mitades del diámetro conjugado de mayor tamaño, en este caso AB. 
• Pueden hacerse muchos más puntos.
2. Dibujamos una circunferencia cuyo diámetro sea AB
3. Por estos puntos aleatorios (1,2) trazamos rectas perpendiculares a AB  y encontramos los puntos de corte con la circunferencia dibujada.
4. Por los puntos aleatorios (1,2)  dibujamos paralelas a CD, y por donde las perpendiculares cortan a la circunferencia auxiliar trazada trazamos también paralelas a XC y TD, obteniendo así los puntos de la elipse 1', 1", 2', 2"...
5. Los unimos a mano y ya está la elipse dibujada.

MÉTODO 3. DIBUJAR UNA ELIPSE A PARTIR DE UN CUADRILÁTERO

Este método se aplica normalmente en Sistema Axonométrico y en problemas de Homología

1. Tenemos que dibujar una elipse de la que conocemos sus diámetros conjugados AC y BD. Construimos sobre ellos un romboide cuyos lados incluyan a los extremos de los diámetros conjugados y sean paralelos a estos.
• Dibujamos sus diagonales. en las que están los ejes de la elipse que vamos a dibujar.
2. En uno de los lados dibujamos un cuadrado auxiliar, sus diagonales y su circunferencia inscrita.
• Al hacerlo encontramos los puntos 1,2,3 y 4.
3. Unimos los puntos Unimos los puntos 4 y uno por medio de una recta que es paralela al lado del cuadrado y la transportamos al romboide, encontrando así 1' y 4'.
• procedemos a hacer lo mismo con 2 y 3.
4. Una vez obtenidos estos puntos podemos dibujar la elipse. 

TANGENTES A LA ELIPSE

RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE POR UN PUNTO DADO DE ELLA.

MÉTODO 1. CIRUNFERENCIA FOCAL

1. Se traza la circunferencia focal, desde el foco más alejado.
2. Se traza una recta que una el punto de tangencia dado T y se prolonga para encontrar en la circunferencia focal el punto F'2.
3. Se unen F'2 y el otro foco, en este caso F'2F2
4. La mediatriz de este segmento es la recta tangente buscada.

MÉTODO 2. CIRUNFERENCIA PRINCIPAL

1. Se traza la circunferencia principal.
2. Se traza una recta perpendicular al eje mayor que pase por el punto de tangencia dado "Tg" y se prolonga para encontrar en la circunferencia un punto.
3. Por ese punto hacemos una tangente a la circunferencia principal que va a cortar a la prolongación del eje mayor en "N"
4. La recta que pasa por "N" y por e punto de tangencia dado "P" es la recta tangente buscada.

RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE POR UN PUNTO EXTERIOR.

MÉTODO 1. CIRUNFERENCIA FOCAL

1. Se traza la circunferencia focal, desde el foco más alejado. "F1"
2. Se traza una Circunferencia que tenga como centro el punto exterior dado P y que pase por el otro foco."F2"
• Esta circunferencia se corta con la focal en "M" y "N"
3. Se unen "M" y "N" con el foco, en este caso "F2", obteniendo así los puntos Tg y T' que son en este caso los puntos de tangencia que buscamos.
4. Se trazan las rectas tangentes que pasan por "P" y por "Tg" y "T'".

RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA.

1. Como dato nos darán la elipse y la dirección.
2. Dibujamos la circunferencia focal usando como centro uno de los focos , en este caso F1
3. Por F2 hacemos una perpendicular a la dirección dada y obtenemos los puntos M y N
4. Al unir N y M con el foco F1 por medio de unas rectas, hayamos los puntos de tangencia T1 y T2.
5. Para concluir dibujamos las rectas tangentes buscadas por T1 y T2, paralelas a la dirección dada.

DIBUJAR UNA ELIPSE CONOCIENDO EL EJE MAYOR Y UNA TANGENTE

1. Se dibuja la circunferencia principal.
2. Desde los puntos en los que la recta tangente "Tg" corta a la circunferencia principal trazamos dos perpendiculares a esta, que nos determinan la situación de los dos focos. 
3. Una vez conocidos los focos podemos dibujar la elipse por uno de los procedimientos anteriores.

DIBUJAR UNA ELIPSE CONOCIENDO LOS FOCOS Y UNA TANGENTE

1. Se dibuja una perpendicular  la tangente desde uno de los focos, hallando el punto "P"simétrico a "F1". 
2. La distancia P-F2 es 2a (eje mayor). Por tanto ya podemos dibujar la elipse.