TANGENCIAS Y ENLACES

TANGENCIAS

La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia. Esta noción se puede generalizar, desde la recta tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones es decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la circunferencia inscrita.

La tangencia, en geometría plana, generalmente se establece entre rectas, circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas, con sus distintas posiciones, tamaños y combinaciones de unas respecto de otras.

(Extraido de: https://es.wikiversity.org/wiki/Tangencias)

Entre una circunferencia y una recta

Objetivamente hay dos casos principales:

Dada una circunferencia cualquiera a la cual se ha de trazar una recta tangente:

• En un primer paso se hace necesario identificar y representar el radio de dicha circunferencia, que sea perpendicular a la dirección de la recta tangente. Luego ya es cuestión de trazar la recta por el punto de tangencia del radio hallado.

Entre dos circunferencias

Dada una circunferencia (N) a la que queremos trazar otra circunferencia tangente:

• En un primer paso es necesario trazar una recta que pasa por el centro de la circunferencia dada O1 y por el punto de tangencia deseado Tg. Luego se identifica el centro de la segunda circunferencia (R) para acabar trazándola.

• La posibilidad de crear circunferencias tangentes entre sí, es infinita y pueden ser tanto exteriores como interiores

Posiciones relativas entre dos circunferencias

Los distintos adjetivos son de carácter intuitivo y ayudarán a observar, identificar y distinguir casos en los que hay o no tangencias y en qué situación se dan. Son puramente operativos e informativos, ya que en sí no resuelven ningún problema, pero facilitan su explicación para casos complejos.

• 

  Circunferencia (R) externa o exterior a otra (N)
   
• 

  Circunferencia (R) tangente externa o exterior a otra (N)
   
• 

  Circunferencia (R) secante a otra (N)
   
• 

  Circunferencia (R) tangente interior a otra (N)
   
• 

  Circunferencia (R) interior y excéntrica a otra (N)
   
• 

  Circunferencia (R) interior y concéntrica a otra (N)
   
• Circunferencia coincidente es cuando son la misma.
   
• Circunferencia exterior, circundante y concéntrica.
   
• 

  Circunferencia (R) exterior, circundante y excéntrica (N)
   
• 

  Circunferencia (R) tangente, exterior y circundante a otra (N)

Algunos ejemplos de tangencias múltiples

Circunferencias tangente a dos rectas dadas

• Los centros de las circunferencias tangentes siempre son puntos de la bisectriz del ángulo conformado por las dos rectas dadas.

Se puede proceder de dos formas para hallar dichos centros:

• Por un lado trazando la bisectriz y luego seleccionar los centros deseados.

• Si no se tiene acceso al ángulo de las dos rectas dadas, la segunda forma de hallar la bisectriz es hallando dos puntos de la misma, por ejemplo trazando paralelas equidistantes a ambas rectas.

Circunferencia tangente a tres rectas dadas

• Se hallarán las bisectrices de los ángulos conformados por dos parejas de rectas.
• La intersección de las dos bisectrices es el centro de la circunferencia que buscamos.

Circunferencia tangente a otra en un punto dado y a una recta dada

• Se traza una recta tangente a la circunferencia en el punto dado.

A partir de esta recta hay dos posibilidades:

• En primer lugar se traza la bisectriz de las dos rectas. La intersección con la bisectriz y la recta radial es el centro de dicha circunferencia.
• En segundo lugar se puede aplicar potencia, que en resumen, equivale a trazar una circunferencia centrada en el ángulo y radio hasta el punto de tangencia, dicha circunferencia genera dos puntos en la recta dada, que son las dos posibles tangencias de la circunferencia buscada. Finalmente con perpendiculares en dicho par de puntos se obtienen los centros de las circunferencias buscadas.

Rectas tangentes a una circunferencia dada pasando por un punto exterior dado

• Unimos mediante un segmento el centro de la circunferencia con el punto exterior dado
• Trazamos una circunferencia auxiliar cuyo diámetro es el segmento anterior.
• La intersección de ambas circunferencias son los puntos de tangencia que al unirlos con el punto exterior nos dan la solución.

Los puntos de tangencia son los vértices del arco capaz de 90º comprendido entre el centro de la circunferencia y el punto exterior.

Rectas tangentes a dos circunferencias

• Se puede convertir este problema en el anterior, restando la longitud del radio de la circunferencia menor a los dos radios. Los puntos de tangencia de la circunferencia mayor estarán alineados con su centro.

• Para hallar las tangentes interiores, se suma la longitud del radio menor al mayor y se resta al menor. Los puntos de tangencia de la circunferencia mayor estarán alineados con su centro.

Circunferencia tangente a otra en un punto dado y que pase por otro punto dado

• Se une mediante un segmento(A) el punto de tangencia de las circunferencias con el punto exterior dado.
• Se hace la mediatriz de dicho segmento.
• El centro de la circunferencia buscada estará alineado con el centro de la circunferencia dada y su punto tangente.
• Finalmente en la intersección está el centro de la circunferencia buscada.

Circunferencia tangente a otra en un punto dado y a otra circunferencia cualquiera

• Es posible deducir este método del anterior.
• Alargando el radio de la circunferencia, con tangencia, y sobre su punto de tangencia, situemos dos puntos que equidisten a dicho punto el radio de la otra circunferencia. Ahora identificando mediatrices entre cada uno de los puntos y el centro de la circunferencia, que no tiene tangencia, generan otros dos puntos que son los centros de las dos circunferencias buscadas.

Lámina 11. TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar las posibles rectas tangentes a la circunferencia O1 desde un punto exterior P. 
• DATOS: distancia entre P y el centro de O1 60mm, radio de O1 25mm. 
2. Dibujar la recta tangente a un arco de circunferencia del que desconocemos el centro.
• SIN DATOS. Dibújala de manera parecida al ejemplo.
3. Dadas dos circunferencias y la distancia entre sus centros Dibujar las posibles rectas tangentes exteriores a ambas.
• DATOS: ro1=12mm, ro2=28mm Disrtancia 01-02= 50mm,
4. Dadas dos circunferencias y la distancia entre sus centros Dibujar las posibles rectas tangentes interiores a ambas.
• DATOS: ro1=17mm, ro2=32mm Disrtancia 01-02= 62mm,

Lámina 12.  TANGENCIAS 2

1. Dadas dos circunferencias secantes 01 y 02, la distancia entre los centros, dibujar las posibles circunferencias tangentes a ambas de radio dado. 
• DATOS:  ro1=25mm, ro2=35mm Disrtancia 01-02= 50mm, rtg=10mm
2. Dados los lados de un triángulo definido por tres rectas que se cortan "r", "s" y "t". Dibujar las posibles circunferencias tangentes a las tres rectas dadas. 
• DATOS: lr = 40mm, ls= 25mm y lt=43mm

Lámina 13. Enlaces. Diseño de una letra por enlace de curvas o de curvas y rectas. Trabajo libre.